Blueprint 技术指南 | 构建数学协作新生态

数学形式化的新挑战

在当代数学研究中,一个完整的证明可能横跨数百页技术细节,但即使是最杰出的数学家也难免在冗长的证明中出现疏漏。这使得传统的同行评议机制难以全面把控证明的正确性。在这样的背景下,Blueprint 项目应运而生。它是由法国数学家 Patrick Massot 开发的工具,致力于管理和协调大型形式化数学项目,为数学证明的形式化过程提供了系统性的解决方案。

本文将深索 leanblueprint 的核心特性,通过分析经典项目案例,展示这一工具如何革新数学形式化的工作流程,并通过一个完整的实践示例解释其功能用法。

解析经典项目:以费马大定理为例

我们从 Lean 社区的经典项目 费马大定理入手,了解 Blueprint 是什么,由哪些东西构成。

费马大定理(Fermat’s Last Theorem):对于任意正整数 aabbcc 和大于等于 3 的正整数 nn,方程 an+bn=cna^n + b^n = c^n 没有解。这个命题由费马于 1637 年提出,直到 1994 年才被怀尔斯(在泰勒的协助下)最终证明。虽然现在已经出现了几种不同的证明方法,但它们都遵循相似的思路,依赖于椭圆曲线和模形式理论。

这个定理的魅力在于:表述仅涉及初等数学概念,却需要现代数学中最深刻的理论才能完成证明。 Lean 提供了简洁的形式化表述:

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/-- 在给定半环上针对特定指数的费马大定理表述 -/
def FermatLastTheoremWith (R : Type*) [Semiring R] (n : ℕ) : Prop :=
∀ a b c : R, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n

/-- 在自然数集上针对给定指数的费马大定理表述 -/
def FermatLastTheoremFor (n : ℕ) : Prop := FermatLastTheoremWith ℕ n

/-- 完整的费马大定理表述 -/
def FermatLastTheorem : Prop := ∀ n ≥ 3, FermatLastTheoremFor n

虽然表述简洁,但完整的证明需要构建和形式化大量现代数学理论。

FLT 项目

FLT(Fermat’s Last Theorem)项目 是由 Kevin Buzzard 领导,获得英国工程和物理科学研究委员会(EP/Y022904/1)资助的大型形式化项目。

项目网站包括:

  1. 主文档网站

    • 由 Lean 社区的 doc-gen4 工具生成
    • 提供完整的 API 文档和代码导航
      项目主页面
  2. Blueprint 可视化界面

    • 通过项目主页的 blueprint 链接访问
    • 展示形式化进度和依赖关系
      Blueprint界面

以第二章为例,Blueprint 通过直观的可视化系统来展示项目状态:

依赖关系图

  1. 节点类型

    • 圆形:定理(需要证明的数学陈述)
    • 矩形:定义(数学概念的形式化)
    • 菱形:引理(辅助性的中间结果)
  2. 状态颜色编码

    • 绿色:完成形式化(stated/proved)
    • 蓝色:准备就绪(can_state/can_prove)
    • 橙色:未准备就绪(not_ready)
    • 深绿色:已并入 mathlib(mathlib)
    • 白色绿边:已完成陈述但证明未完成

在正文部分,通过点击引理旁边的链接,也能跳转到对应的 Lean 代码。

进度追踪

部署指南

以下是在 Ubuntu 系统上的完整部署流程:

  1. 环境准备
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# 安装 Lean(如果尚未安装)
pip install leanup
leanup install

# 安装 Blueprint 及其依赖
sudo apt-get update
sudo apt-get install graphviz libgraphviz-dev -y
pip install leanblueprint
  1. 项目初始化
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# 克隆项目并更新依赖
git clone https://github.com/ImperialCollegeLondon/FLT
lake update
  1. 生成文档
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# 生成所有文档
leanblueprint all
leanblueprint web

# 启动本地预览服务(端口 8000)
leanblueprint serve

Blueprint 为项目提供三种输出:

  1. Web 界面

    • 位于 <repo>/blueprint/web
    • 提供交互式导航和实时更新
    • 支持全文搜索功能
  2. PDF 文档

    • 位于 <repo>/blueprint/print/print.pdf
    • 适合学术交流和存档
    • 保持传统数学论文的格式
  3. API 文档

    • 由 doc-gen4 自动生成
    • 提供详细的技术实现文档
    • 便于开发者理解和使用代码

所有生成的文档都位于 blueprint 目录下,不会影响原有的 Lean 代码。

Blueprint 技术浅析

回到我们的问题。

什么是 Blueprint

leanblueprint 是为 Lean 4 定理证明项目设计的、基于 Python 的命令行工具。其设计理念是将传统数学写作的 LaTeX 工作流与严谨的 Lean 形式化代码无缝结合

它的主要亮点包括:

  1. 创建“动态蓝图”:将数学家撰写的 LaTeX 格式的证明大纲(蓝图)与项目中对应的 Lean 代码链接起来。
  2. 可视化项目进度:自动生成一个交互式的依赖关系图 (Dependency Graph),直观展示项目中每个定义、引理和定理的形式化状态(已完成、进行中或未开始)。
  3. 自动化文档生成:自动生成内容同步的输出:
    • 一份高质量的、适合发表的 PDF 论文
    • 一个功能丰富的交互式静态网站,包含代码 API 文档和动态依赖图。

这些设计让数学家能够在熟悉的 LaTeX 环境中专注于证明构思,而形式化专家则可以专注于代码实现,两者的工作成果通过 Blueprint 实现完美协同。

传统的数学论文写作是线性的、静态的。一旦发表则修改困难,错误可能长期存在。二者相比

特性 传统方法 Blueprint 方案
更新机制 静态,修改困难 动态实时更新
内容组织 线性结构 模块化管理
正确性保证 完全人工审核 自动形式化验证
错误处理 事后发现 实时预防

Blueprint 的工作原理

理解 leanblueprint 的关键在于,它不是 Lean 的一部分,而是一个独立于 Lean 构建系统(Lake)之外的、基于 Python 的外部工具。它的工作流程巧妙地利用了成熟的 TeX 生态和脚本能力。

其主要包含了以下几个部分:

  1. 解析 LaTeXleanblueprint 的核心依赖一个名为 plasTeX 的 Python 库,它可以将 LaTeX 文档的源文件解析成一个 Python 对象树,而不是直接编译成 PDF。
  2. 识别特殊宏:在解析过程中,leanblueprint 会重点识别它自己定义的一套特殊 LaTeX 宏,连接文本与代码。
  3. 提取元数据:通过识别这些宏,leanblueprint.tex 文件中提取出所有关键的元数据:所有数学声明的列表、它们对应的 Lean 名称、它们之间的依赖关系以及它们各自的形式化状态。
  4. 生成输出:利用提取出的元数据,leanblueprint 生成最终的输出:
    • 对于网页:它会生成 HTML 文件,并将元数据嵌入其中。例如,\lean{MyMath.Group.assoc} 会变成一个超链接,指向该 Lean 定义的 API 文档。\uses 信息则被用来渲染那个强大的依赖图。
    • 对于 PDF:它会忽略这些特殊宏,使用标准的 pdflatex 将同一个 .tex 源文件编译成一篇格式优美的传统数学论文。

这种架构设计具有显著的非侵入性特征:用户只需在 LaTeX 文档中添加少量特殊宏,就能获得完整的项目管理和现代化发布功能,无需改动任何 Lean 核心代码。

实战演示:构建数学形式化项目

我创建一个简单的代数结构项目,演示群论中的基本概念形式化过程。

项目初始化

首先,使用 Lean 的包管理器 lake 创建一个新项目。

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# 创建新的 Lean 项目
elan run leanprover/lean4:v4.21.0 lake new my_math_project .lean
cd my_math_project

lakefile.lean 中添加必要的依赖,包括:

  • mathlib4:Lean 的标准数学库
  • checkdecls:声明检查工具
  • doc-gen4:文档生成工具
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require mathlib4 from git "https://github.com/leanprover-community/mathlib4" @ s!"v{Lean.versionString}"
require checkdecls from git "https://github.com/PatrickMassot/checkdecls.git"
require «doc-gen4» from git
"https://github.com/leanprover/doc-gen4" @ s!"v{Lean.versionString}"

编写代码

修改入口文件 MyMathProject.lean

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import MyMathProject.Basic

创建文件 MyMathProject/Basic.lean,定义群的基本结构和性质:

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import Mathlib.Algebra.Group.Defs

-- 定义群的类型类
class MyGroup (G : Type) extends Mul G, One G, Inv G where
mul_assoc : ∀ a b c : G, (a * b) * c = a * (b * c)
one_mul : ∀ a : G, 1 * a = a
mul_one : ∀ a : G, a * 1 = a
mul_left_inv : ∀ a : G, a⁻¹ * a = 1

-- 为了演示,我们使用命名空间来组织
namespace MyMath.MyGroup

-- 定义一个关于结合律的引理
-- 在一个真实的蓝图中,我们将会形式化它的证明
theorem assoc (G : Type) [MyGroup G] (a b c : G) : (a * b) * c = a * (b * c) := by
-- 实际的证明会在这里
exact MyGroup.mul_assoc a b c

-- 定义一个关于单位元的引理
theorem identity_left (G : Type) [MyGroup G] (a : G) : 1 * a = a := by
exact MyGroup.one_mul a

end MyMath.MyGroup

项目构建

完成代码编写后,我们需要构建项目并初始化 Blueprint 环境。

  1. 编译 Lean 项目:
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lake update
lake build
  1. 由于 Blueprint 需要在 Git 版本控制下运行,我们需要初始化仓库并提交代码:
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# 复用 FLT 项目的 .gitignore
# cp /repo/to/FLT/.gitignore ./
git add -A
git commit -m "initial commit"

Blueprint 配置

使用 Blueprint 的命令行工具创建项目模板:

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leanblueprint new

在配置过程中,系统会询问一系列设置选项,按回车选择默认。由于我们已经手动配置了依赖,涉及 Modify lakefile and lake-manifest 的选项可以按 n 跳过。最终确认提交更改:

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❯ leanblueprint new
Welcome to Lean blueprint
...
Commit to git repository? [y/n]: y
Commit message (Setup blueprint):
Git commit created. Don't forget to push when you are ready.
You are all set 🎉

执行完成后,Blueprint 会生成以下目录结构:

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blueprint/
└── src/
├── blueprint.sty # LaTeX 样式文件
├── content.tex # 主要数学内容
├── extra_styles.css # 自定义样式
├── latexmkrc # LaTeX 编译配置
├── macros/ # 宏定义目录
│ ├── common.tex # 通用数学宏
│ ├── print.tex # 打印格式专用宏
│ └── web.tex # 网页格式专用宏
├── plastex.cfg # PlasTeX 配置
├── print.tex # PDF 输出主文件
└── web.tex # Web 输出主文件

此外,因为配置了 doc-gen4,也附带构建了一个 home_page 目录用于项目主页。接下去是对 LaTeX 模板的修改,参考地址:Lean-zh/mathdemo.blueprint

Blueprint 提供了几个关键的 LaTeX 宏命令,用于关联数学文本和形式化代码:

  • \lean{...}:关联数学概念与 Lean 定义
  • \uses{...}:声明定理间的依赖关系
  • \leanok:标记已完成形式化的内容

构建与部署

生成文档和网站:

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leanblueprint all   # 生成所有输出
leanblueprint web # 构建网站

对于 GitHub 部署,Blueprint 提供了自动化配置。只需在仓库设置中启用 GitHub Actions:

GitHub Pages 设置


以上。

随着数学研究日益依赖计算机辅助证明,Blueprint 这类工具正在重塑数学研究的工作流程。它不仅是一个文档生成工具,更是连接传统数学写作和现代形式化方法的桥梁,为数学研究的未来开辟新的可能性。